12年全国大学生数学建模一等奖—太阳能小屋的设计

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2012 高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则 . 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的 , 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写） B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）所属学校（请填写完整的全名）西华大学参赛队员打印并签名 1. 杨尚安2. 刘洋3. 谭笑指导教师或指导教师组负责人打印并签名张朝伦日期 2012 年 9 月 9 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）2012 高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）1 太阳能小屋的设计摘要本文通过分析题中数据及相关条件，建立数学模型解决了太阳能小屋的各种设计问题。针对问题一，首先利用 excel 表格，将题中所给山西气候及辐射强度进行排序，再建立非线性规划模型，利用 visual C编程计算可得在每个面上使用某种型号光伏电池时的获益最大，然后再建立太阳能光伏阵列数学模型，根据伏安曲线得出房屋各面的光伏阵列，再结合太阳辐射强度、光线入射角、环境、建筑物所处的地理纬度、地区的气候与气象条件等相关数据建立非线性方程模型，得到对各面的影响强度，最后给出了小屋光伏电池的铺设方案以及得到了小屋 35 年的发电总量为 1999760kwh，经济效益为273.83，投资的回收年限为 12 年零 10 个月。针对问题二，首先利用太阳对地面的连续性、均匀性、极大性等相关性能，建立在独立光伏系统下的最佳倾角模型，得到屋顶光伏电池与水平面的最佳倾角是 o1.35 ，再结合问题一的结果，得到小屋光伏电池的铺设方案及小屋 35年的发电总量为 2225216 kwh ，经济效益为 304.70，投资的回收年限为 11年零 6个月。针对问题三，本文首先分析题中相关要求，建立非线性规划模型，由 visual C编程得到小屋设计的长、宽、高等相关数据。再结合问题一中的相关模型，得到小屋的光伏阵列结构。最后利用问题二中光照强度等相关条件可计算出小屋 35年的发电总量为1374539kwh，经济效益为 343.14，投资的回收年限为 10年零 3个月。关键词非线性规划模型光伏阵列模型最佳倾角模型2 一、问题重述在设计太阳能小屋时，需在建筑物外表面（屋顶及外墙）铺设光伏电池，光伏电池组件所产生的直流电需要经过逆变器转换成 220V 交流电才能供家庭使用，并将剩余电量输入电网。不同种类的光伏电池每峰瓦的价格差别很大，且每峰瓦的实际发电效率或发电量还受诸多因素的影响，如太阳辐射强度、光线入射角、环境、建筑物所处的地理纬度、地区的气候与气象条件、安装部位及方式（贴附或架空）等。因此，在太阳能小屋的设计中，研究光伏电池在小屋外表面的优化铺设是很重要的问题。附件 1-7 提供了相关信息。请参考附件提供的数据，对下列三个问题，分别给出小屋外表面光伏电池的铺设方案，使小屋的全年太阳能光伏发电总量尽可能大，而单位发电量的费用尽可能小，并计算出小屋光伏电池 35 年寿命期内的发电总量、经济效益（当前民用电价按 0.5 元 /kWh计算）及投资的回收年限。在求解每个问题时，都要求配有图示，给出小屋各外表面电池组件铺设分组阵列图形及组件连接方式（串、并联）示意图，也要给出电池组件分组阵列容量及选配逆变器规格列表。在同一表面采用两种或两种以上类型的光伏电池组件时，同一型号的电池板可串联，而不同型号的电池板不可串联。在不同表面上，即使是相同型号的电池也不能进行串、并联连接。应注意分组连接方式及逆变器的选配。问题 1请根据山西省大同市的气象数据，仅考虑贴附安装方式，选定光伏电池组件，对小屋（见附件 2）的部分外表面进行铺设，并根据电池组件分组数量和容量，选配相应的逆变器的容量和数量。问题 2电池板的朝向与倾角均会影响到光伏电池的工作效率，请选择架空方式安装光伏电池，重新考虑问题 1。问题 3根据附件 7 给出的小屋建筑要求，请为大同市重新设计一个小屋，要求画出小屋的外形图，并对所设计小屋的外表面优化铺设光伏电池，给出铺设及分组连接方式，选配逆变器，计算相应结果。二、模型假设1.假设每种相同型号的光伏电板完全一样2.假设所选用的逆变器均在适宜温度下工作3.假设房屋内部具有某个区域专门存放光伏发电系统相关组件4.假设光强不能启动逆变器时，系统所用蓄能电池组发电量也记入光伏阵列的产电量5.光伏电池组件启动发电时其表面所应接受到的最低辐射量限值，单晶硅和多晶硅电池启动发电的表面总辐射量≥ 80W/m2、薄膜电池表面总辐射量≥ 30W/m2 6.假设 35 年间每年的太阳辐射强度大致相同7.假设同一逆变器不能连接于不同表面8.假设 35 年内太阳能光伏阵列不会出现重大问题9.假设未来 35 年太阳能光伏阵列的成本仅有最初的安装费，没有维修费。3 三、符号说明R 表示小屋 35 年总利润Q 表示 35 年总发电量y 表示 kwh1 的电费M 表示小屋建造太阳能光伏阵列的总花费S 表示电池面积G 表示辐射强度z 表示组件的转换率n 表示逆变器的转换率nM 表示逆变器的费用zM 表示组件的费用表示当地的纬度表示太阳电池的倾角表示太阳的赤纬角s 表示水平面上日落时角st 表示倾斜面上日落时角bH 表示水平面上直接辐射量dH 表示水平面上散射辐射量bR 表示倾斜面与水平面上直接辐射量之比0H 表示大气层外水平面上太阳辐射量四、模型建立与求解4.1 问题一4.1.1 问题分析从整体上看，本问题要求使用规定的光伏电池及规定的逆变器进行组合，使得小屋的全年太阳能光伏发电总量尽可能大，而单位发电量的费用尽可能小的最优结果。对于这里的最优结果，可以分为两个目标来实现，第一个目标得到在每个面上使用某种光伏电池时获益最大，第二个目标得到各面的光伏阵列。最后在考虑发电量的各种影响因素，结合计算法则可得到小屋光伏电池的铺设方案以及 35 年的发电总量，经济效益，投资的回收年限。从具体上分析，为得到每面的最佳光伏电池，首先可以将题中所给山西气候及辐射强度进行排序，将 1 24 号光伏电池，分别与 1 18 号逆变器 1-1 搭配，建立利润率最大的非线性规划模型，再利用 visualC 编程即可得各面最好的光伏电池。在得到每面最好的光伏电池后，为得到每面的光伏阵列，首先分别在每一面利用面积使用最大化可得到每面最多可以安装最佳光伏电池数，再建立太阳能光伏阵列数学模型，利用 matlab做出图像，找出电压 U，电流 I 的乘积最大的点（即拐点），然后由拐点电压确定光伏电池的串联数目，由拐点电流确定光伏电池的并联数目，再确定选用的逆变器，组成光伏阵列。最后再结合太阳辐射强度、光线入射角、环境、建筑物所处的地理纬度、地区的气候与气象条件等相关数据建立非线性规划模型，得到各因素的影响强度大小，这样即可计算出小屋光伏电池的铺设方案及小屋 35 年的发电总量，经济效益，投资回收年限。具体解答流程图示如下4 图 1 解答流程图由题中所述为了保证光伏组件正常工作，只允许相同型号的光伏组件进行串联。多个光伏组件串联后可以再进行并联，并联的光伏组件端电压相差不应超过 10。因此，当同一个面出现两种不同型号的光伏电池时，很难进行串并联，故在这面上就需要两个及以上的逆变器，由于逆变器价格很高，所以很不划算，因此，每一面尽量使用同种光伏电池，为了使每面尽量少的使用逆变器，因此在每面的同种光伏电池尽量使用偶数个，这样通过串并联即可实现只是用一个逆变器就控制小屋的一面光伏阵列的工作。4.1.2 数据处理首先将题中所给山西大同气象数据，利用 excel 表格，进行降序排列，得出每面总光照辐射强度大于 30 2/ mw ， 30 2/ mw 至 80 2/ mw ，大于 80 2/ mw ， 80 至 200 2/ mw ，及200 2/ mw 以上的分组数据。如下表所示东面光强范围 2/ mw 30 30-80 80-200 200 总计 578672.9 56273.43 118959.87 403439.61 表 1 东面光强范围取值南面光强范围 2/ mw 30 30-80 80-200 200 总计 1043402 35700.90 137479.87 870221.64 表 2 南面光强范围取值西面光强范围 2/ mw 30 30-80 80-200 200 总计 872801.6 77666.12 100791.46 694344.01 表 3 西面光强范围取值北面光强范围 2/ mw 30 30-80 80-200 200 总计 243181.1 111180.34 86111.77 45888.94 表 4 北面光强范围取值5 其次，各光伏电池的面积大小计算（长宽）结果如下A1 A2 A3 A4 A5 A6 B1 B2 1.27664 1.938396 1.27664 1.637792 1.63515 1.938396 1.63515 1.938396 B3 B4 B5 B6 B7 C1 C2 C3 1.470144 1.62688 1.940352 1.940352 1.668 1.43 0.939231 1.575196 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C1 1.54 1.54 0.11005 0.1107 0.218325 0.3266 0.29039 1.17124 表 5 各光伏电池面积4.1.3 模型建立与求解1.1 非线性规划模型建立经上面的数据分析及数据处理以后可知，北面光线强度几乎都在 80 2/ mw 以下，因此只能选择 C型光伏电池，而 C型光伏电池的能量转换率偏低，并且面积相对较小，铺设北面时需要数量增多，这样也就会相应的增多逆变器数量，而逆变器价格都不低，最终会造成在北面上安装光伏电池不但没有利润可得，反而会增多其他的费用（例如安装费、运送费、维修费等），因此，经综合考虑北面不予安装光伏电池。要研究如何安装使小屋的全年太阳能光伏发电总量尽可能大，而单位发电量的费用尽可能小，可将其转化成考虑如何安装使得到利润最大，即 MyQR其中 R表示总利润， Q 表示总发电量， y 表示 kwh1 的电费， M 表示总花费。对于第一年的利润znnz MMGSR 5.010001S表示电池面积， G 表示辐射强度， z 表示组件的转换率， n 表示逆变器的转换率，nM 表示逆变器的费用， zM 表示组件的费用先分析上述等式中的相关变量对于 S ，对 24 种不同类型的电池进行编号，其对应 24 个不同的面积24,,2,1iSi对于辐射强度，经数据处理后得到在房屋不同面时各阶段的总辐射强度，而 A 类电池只有在辐射量≥ 80W/m2 时才会启动，且当太阳光辐照强度低于 200W/㎡时， A 类电池的转换效率＜正常时转换效率的 5，可假设为 5，故对于不同的光照强度，转换率也不相同，故 A 类电池的一年总辐射强度5 32 AAA GGG其中 2G 表示辐射强度在 80W/m2 至 200W/m2 之间的总辐射强度， 3G 表示辐射强度≥200W/m2 的总辐射强度； B 类电池，同 A ，在辐射量≥ 80W/m2 时才会启动，故此时的一年总光照强度2BB GG ；C 类电池，在辐射量≥ 30W/m2 时才会启动，故此时的一年总光照强度3CC GG其中 1G 表示辐射强度≥ 30W/m2 的总辐射强度。对于 z ， 24 种电池有 24 个转换率 24,,2,1iiz6 对于 nM ， 18 种逆变器有 18 种的价格 18,,2,1 jMjn对于组件的费用 nnz jpM ，其中 np 表示组件的 wp ， nj 表示组件的价格，而 wp峰瓦 ]1[ 即在标准测试条件下太阳能电池组件或方阵的额定最大输出功率，则此题为组件功率。接下来考虑在房屋东面，将 24 种不同型号的电池分别与 18 种逆变器结合，假设一个电池只与一个逆变器连接，所得利润最大者即最适合在东面安装的电池类型，建立非线性规划模型ijjiznnziid MMGSR 5.01000maxS.T. 24,,15,1413,,8,76,,2,151232iGGiGGiGGGCiBiAAi对于小屋南面、西面、房顶，同理可得。1.2 非线性规划模型求解根据上述第一个目标规划模型，经 visualC 编程后可得到各面最佳光伏电池如下表（具体代码见附录 1）方位东南西北顶最佳光伏电池 B1 A3 B2 无 B3 表 6 各面的最佳光伏电池2.1 太阳能光伏阵列数学模型建立查阅资料可知太阳能光伏发电系统结构图如下 ]2[ 图 2 太阳能光伏系统图1、太阳能电池方阵太阳能电池方阵一般由多块太阳能电池组件串、并联而成，每个支路通过防反充二极管、充电控制器并联向蓄电池充电。太阳能电池方阵分为若干个子阵列，每个阵列由一个电子开关控制。当蓄电池的充电电压达到设定的最电高压时，自动依次切断一个或数个子阵列，以限制蓄电池的充电电压继续增长确保蓄电池的寿命，并最大限度地利用和储存太阳能电池发出的电能。2、蓄电池组蓄电池组是太阳能电池方阵的储能装置，其作用是将方阵在有日照时发出的多余电7 能储存起来，在晚间或阴雨天时供负载使用。蓄电池组由若干蓄电池串并联而成。一般容量要能在无太阳辐射的日子里，满足用户要求的供电时间和供电量。3、控制器控制器一般由各种电子元器件、仪表、继电器、丌关等组成。有些起着过充放、稳压等功能，一些复杂的系统，如并网发电的光伏电站，则要求有自动检测、控制、转换等多种功能。4．逆变器逆变器将太阳能电池方阵输出和蓄电池放出的直流电转换成负载所需的交流电。逆变器主电路由大功率晶体管构成，采用正弦脉宽调制工作制，抗干扰能力强，还有很强的过载及限流保护功能。光伏阵列是一种基于光生福特效应而将太阳能直接转化成电能的器件，其结构可以看做是由一个半导体光电二极管为核心部件。在太阳能电视设计手册中]3[ H.S.Rauschenbach 认为可以通过在一系列的测试条件下观察实验光伏阵列的最终特性，总结出太阳能光伏阵列的伏安曲线，在英文中被普遍叫做 I-Vcure 。模型建立如下]6][5][4[ ]}1[exp1{21OCSC VCVCII这里 C1 和 C2 分别由如下公式确定]1[exp1021CmpscmpVCVIIC12 ]1[ln1SCmpOCmpIIVVC其中 I 表示短路电流， SCI 表示电流， V 表示开路电压， OCV 表示电压， mpI 表示最佳工作电流， mpV 表示最佳工作电压。2． 2 太阳能光伏阵列数学模型求解根据上述太阳能光伏阵列数学模型，利用 matlab 做出每面的图像，即可判断出拐点（即最佳工作时的电流和电压，也就是最大功率点）。具体图像如下（具体代码见附录2）图 3东面太阳能电池 I-V 特性图图 4南面太阳能电池 I-V 特性图8 图 5西面太阳能电池 I-V 特性图图 6顶面太阳能电池 I-V 特性图由上面 4 个图像可知，对于东面最佳工作电压、电流为（ 190， 14），对于南面最佳工作电压、电流为（ 185,9），对于西面最佳工作电压、电流为（ 138,21），对于顶面最佳工作电压、电流为（ 330,25）。由于上一个模型的结果为方位东南西北顶最佳光伏电池 B1 A3 B2 无 B3 表 7 各面的最佳光伏电池结合本模型，针对东面，选择 B1型号的光伏电池（开路电压为 37.01V, 正常工作电流为 6.99A），因为上模型得到的东面最佳电压、电流为（ 190V， 14A）因此东面最多可以串联 190/37.015 个，并联 14/6.992 个，即东面的光伏电池安装情况是 5 串联后在2 并联。此时电池总面积为 1.63515*1016.3515 2m 刚好可以完全安放在东面。其实 3 三面情况雷同，四面具体安放情况见最终解答下的图像。3． 1非线性方程模型建立 ]7[分析题中所给出的山西省大同市的气象数据和各方向辐射强度，我们可知每小时在东南西北四个面的总辐射强度，而倾斜面的辐射强度未知，故可根据前三列的数据，计算求解出倾斜面上太阳辐射量。下述模型为如何根据前三列的数据求解出倾斜面上太阳辐射量。从气象站得到的资料一般只有水平面上的太阳辐射总量 H 、直射辐射量 hH 及散射辐射量 dH ，其关系为db HHH而倾斜面上的太阳辐射总量 HT由倾斜面上的直接辐射量 bTH 、天空散射辐射量 dTH及地面反射辐射量 rTH 三部分组成，即RTaTbTT HHHH3.1.1 倾斜面上的太阳直接辐射量 bTHbbbT RHH式中 HR 表示一倾斜面上的直接辐射分量与水平面上直接分量的比值。9 对于朝向赤道的倾斜角，有sinsin180sincoscossinsin180sincoscosssststRb为当地的纬度，为太阳电池的倾角，为太阳的赤纬角， s为水平面上日落时角，st 为倾斜面上日落时角。而式中 365/248*360sin45.23 n ，其中 n 为一年中从 1月 1日算起的天数。水平日落时角 tantanarccoss倾斜面上的日落时分角 ]}tantanarccos[,min{ sst根据余弦函数性质，可以判断 ]}tantanarccos[,min{ sst 在下面各情况的值（ 1）当 0且 0 时， tantanarccoss ，因此，]tantanarccos[st ；（ 2）当 0且 90 时， tantanarccoss ，因此 sst ；（ 3）当 0 且 0 时， tantanarccoss ，因此，]tantanarccos[st ；（ 4）当 include float qiumaxfloat s,float p,float w,int j ; float qiukfloat s,float p,float w,int j ; void main { int j; int kk; float maxlirun; float s[24]{1.27664,1.938396,1.27664,1.637792,1.63515,1.938396,1.63515, 1.938396 ,1.470144 ,1.62688, 1.940352, 1.940352 ,1.668 ,1.43 ,0.939231, 1.575196 ,1.54, 1.54 ,0.11005, 0.1107, 0.218325, 0.3266, 0.29039, 1.17124 }; float p[24]{215,325, 200 ,270, 245, 295 ,265, 320 ,210, 240 ,280, 295, 250,100 ,58 ,100, 90 ,100, 4, 4, 8, 12, 12, 50}; float w[24]{0.1684,0.1664,0.187,0.165,0.1498,0.1511,0.1621,0.1639,0.1598,0.148,0.1598,0.152,0.1499,0.0699,0.0617,0.0635,0.0584,0.0649,0.0363,0.0363,0.0366,0.0366,0.0413,0.0427}; forj0;j0 ki1; } } } ifj6 ki1; } } } ifj13 ki1; } } } return max; } float qiukfloat s,float p,float w,int j { int i; int k; float max0.0; float u[18]{0.84,0.84,0.86,0.86, 0.86, 0.9 ,0.9 ,0.9, 0.92, 0.92, 0.94 ,0.94 ,0.94, 0.94 ,0.94, 0.94 ,0.973 ,0.973}; //逆变器的转化率float money[18]{2900 ,4500, 4500 ,6900, 10200, 15000, 10200, 15300, 35000, 63800, 4500, 6900 ,10300, 15300 ,22000, 35000 ,43750, 54700}; //逆变器的价格float y[18]; ifj0 ki1; } } } ifj6 ki1; } } } ifj13 ki1; } } } return k; } 附录 2画光伏组件 u-i 图使用软件名称 Matlab Untitled.m isc8.57; voc45.1; i50; v220; c11-imp/isc*exp-vmp/c2*voc; c2vmp/voc-1*log1-imp/isc-1; ezplot i-isc*1-1-imp/isc*exp-vmp/vmp/voc-1*log1-imp/isc-1*voc*expv/vmp/voc-1*log1-imp/isc-1*voc-1 ,[0,20,0,100] 附录 3 使用软件名称 excel 平铺时顶面光照强度1058.843 554.2253 314.7797 119.7037 566.5284 819.3744 470.0361 260.6094 1049.29 554.0634 314.7395 118.6255 565.9719 818.8538 469.757 260.381 1031.294 550.6515 314.6302 118.6255 565.2338 818.7649 469.7196 259.9412 1029.092 549.5785 314.5106 118.6255 565.1664 814.3849 469.6099 259.0397 1024.474 549.3545 314.0201 117.7208 563.7849 813.7679 466.8675 257.955 1011.913 549.0511 312.6223 117.7 563.2529 812.5957 466.155 257.708 1009.291 549.0106 311.7496 117.4513 563.027 811.3844 464.7964 256.5178 1001.871 547.0343 311.3084 116.8726 562.8356 809.2962 462.7285 253.9553 998.9671 546.7841 310.8484 115.8744 562.7382 802.2331 462.2156 253.8812 983.1546 546.5828 310.5688 115.7705 562.3117 801.3572 462.0855 253.8173 980.588 545.1363 310.5599 115.7458 561.8504 800.8572 460.7268 253.8173 980.5401 544.6565 309.8787 113.562 560.7002 800.8351 460.7268 253.8173 973.4171 544.5174 308.9886 113.1134 560.2508 800.1839 460.7268 253.8173 972.1603 544.506 308.5896 113.1134 560.1762 798.8817 460.3935 253.6756 957.8974 540.9796 308.5042 113.0569 560.0449 797.7565 457.9657 253.1159 953.7819 540.7275 307.8819 111.8224 559.9263 796.2596 457.1489 251.3422 950.5405 540.4994 306.8636 111.4597 559.5224 795.9944 456.0345 251.2433 947.0533 539.2412 306.2275 111.0855 557.2838 792.9288 455.8033 251.1561 938.8106 538.3531 305.8516 110.4136 556.0862 789.7356 455.497 251.0563 938.6999 537.6869 303.4764 110.3523 555.0442 789.5735 455.4892 251.0563 24 937.43 537.5776 303.4764 110.3523 554.7096 789.2442 454.8621 250.9029 936.562 536.286 303.4764 110.0947 554.5065 785.8732 454.3735 250.3006 933.1302 536.179 301.5994 109.3053 327.7121 785.6277 454.359 248.2953 931.8993 535.9307 301.3712 108.6602 326.7606 783.5577 453.5222 247.1293 929.477 533.6593 301.1691 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